x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy其中∑是介于平面z=1,z=2之间圆锥面z=根号下(x^2+y^2)的下侧
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用
奥斯特罗格拉茨基
-
高斯
公式
，令原积分为I，大圆积分为J，小圆积分为K
则I+J+K=2∫∫∫(x+y+z)dv，由对称性，∫∫∫(x+y)dv=0
柱坐标，上式=2∫(0,2π)dθ∫(1,2)zdz∫(0,z)rdr=15π/2
在小圆上，z=1,dz=0，cosγ<0，K=-∫∫z^2dxdy=-π
在大圆上，z=2,dz=0，cosγ>0，J=∫∫z^2dxdy=16π
于是I=-15π/2
奥斯特罗格拉茨基
-
高斯
公式
，令原积分为I，大圆积分为J，小圆积分为K
则I+J+K=2∫∫∫(x+y+z)dv，由对称性，∫∫∫(x+y)dv=0
柱坐标，上式=2∫(0,2π)dθ∫(1,2)zdz∫(0,z)rdr=15π/2
在小圆上，z=1,dz=0，cosγ<0，K=-∫∫z^2dxdy=-π
在大圆上，z=2,dz=0，cosγ>0，J=∫∫z^2dxdy=16π
于是I=-15π/2
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