Question

f(x)=x/3x+1,数列{an}满足a1=1/3,an+1=f(an) (n∈N） （1)求证：数列{1/an}是等差数列，并求an通项公式

（2）设sn（x)=x/a1+x的平方/a2+……+x的n次方/an(x>0),求sn(x)

Answer 1

(1)
证：
a(n+1)=f(an)=an/(3an +1)
1/a(n+1)=(3an +1)/an=1/an +3
1/a(n+1)-1/an=3，为定值。
1/a1=1/(1/3)=3，数列{1/an}是以3为首项，3为公差的等差数列。
1/an =3+3(n-1)=3n
an=1/(3n)
n=1时，a1=1/3，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=1/(3n)。
(2)
x=1时，Sn(x)=1/a1+1/a2+...+1/an=3(1+2+...+n)=3n(n+1)/2
x≠1时，
Sn=x/a1+x²/a2+...+xⁿ/an=3x+6x²+9x³+...+(3n)xⁿ
xSn=3x²+6x³+...+(3n-3)xⁿ+(3n)x^(n+1)
Sn-xSn=(1-x)Sn=3[x+x²+...+xⁿ-nx^(n+1)]=3[x(1-xⁿ)/(1-x) -nx^(n+1)]
Sn=3x(1-xⁿ)/(1-x)² -3nx^(n+1)/(1-x)