Question

已知等比数列{a n }的各项均为正数，且 2 a 1 +3 a 2 =1， a 3 2 =9 a 2 a 6 ．（

已知等比数列{a n }的各项均为正数，且 2 a 1 +3 a 2 =1， a 3 2 =9 a 2 a 6 ．（I）求{a n }的通项公式．（II）令c n =-log 3 a n ，求数列{c n a n }的前n项和S n ．

Answer 1

（I）设等比数列公比为q，由题意， 解 2 a 1 +3 a 1 ?q=1 ( a 1 ?q 2 ) 2 =9 a 1 ?q ?a 1 ? q 5 得 a 1 = 1 3 q= 1 3 …（4分） 故{a n }的通项公式为 a n =( 1 3 ) n …（6分） （II）由（I）得：c n =-log 3 a n =n， ∴{c n a n }= {n ( 1 3 ) n } …（7分） S n =( 1 3 ) 1 +2( 1 3 ) 2 +3( 1 3 ) 3 +…+n( 1 3 ) n 1 3 S n =( 1 3 ) 2 +2( 1 3 ) 3 +…+(n-1)( 1 3 ) n +n( 1 3 ) n+1 相减得  2 3 S n =( 1 3 )+( 1 3 ) 2 +…+( 1 3 ) n -n( 1 3 ) n+1 …（9分） = 1 3 1- ( 1 3 ) n 1- 1 3 -n( 1 3 ) n+1 = 1- ( 1 3 ) n 2 -n( 1 3 ) n+1 ∴ S n = 3 4 [1-( 1 3 ) n ]- 3n 2 ( 1 3 ) n+1 = 3 4 - 3+2n 4 ( 1 3 ) n …（12分）