设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值; (2)当-

设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图... 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间. 展开
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(1)π-4.
(2)4
(3)递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z)


试题分析:解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则
S=4S OAB =4× =4.
(3)根据(1)(2)可知函数的图形,根据奇偶性以及解析式和对称中心可知,

在一个周期[-1,3]内的图象可知增区间为[-1,1],减区间为[1,3],那么推广到整个实数域可知,都加上周期的整数倍即可,故可知函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z)
点评:主要是考查了函数的图象与性质的综合运用,属于中档题。
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