Question

已知函数f(x）=αsinxcosx-（根号3）αcos^2x+[（根号3）/2]a+b(a>0)

（1）写出函数的单调递减区间
（2）设x属于【0，π/2】，f(x)的最小值是-2，最大值是（根号3），求实数a,b

Answer 1

思路：利用二倍角公式和和差化积公式，将函数变为只是关于一个三角函数的，然后继续求解
1、
f(x）=αsinxcosx-√3 αcos^2x+[√3 /2]a+b
=(a/2)sin2x - (√3 α/2)(cos2x +1) +[√3 /2]a+b
=asin(2x -π/3) +b
y=sinx的单调减区间为 [ 2kπ +π/2,2kπ+ 3π/2],k为任意整数，
解 2kπ +π/2 ≦2x -π/3≦2kπ+ 3π/2 ，得 kπ +5π/12 ≦x ≦kπ+ 11π/12
所以函数的单调递减区间为【kπ +5π/12 ，kπ+ 11π/12 】，其中k为任意整数

2、x∈【0，π/2】，(2x -π/3)∈【-π/3，2π/3】 ，sin(2x -π/3) )∈【-√3 /2，1】，
所以由a>0可知，函数的最大值为a+b=√3,最小值为 -√3 /2 a +b=-2,从而解得a,b即可

Answer 2

函数f（x）=asinx·cosx-√3acos²x+（√3）/2 a+b（a>0）
=a/2*sin2x-a*√3/2*cos2x+b
=asin(2x-π/3)+b.
π/2+2kπ≤2x-π/3)≤2kπ+3π/2,
kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12.

即,函数的单调递减区间是:{X|kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12,K∈Z}

2)设x∈[0，π/2]，则有
-π/3≤(2X-π/3)≤2π/3.
f(x)=asin(2x-π/3)+b.
f（x）的最小值是-2，最大值是√3,则有
-√3/2*a+b=-2,
a+b=√3,
解得,a=2,b=√3-2.