Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90º，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90º，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.
⑴求证：BG=FG；
⑵若AD=DC=2，求AB的长.

Answer 1

(1)连EC
∵DE⊥AC，AB⊥BC
∴∠EBC=∠CFE
∵AE=AC
∴∠BEC=∠FCE
∵∠BEC=∠FCE
∠EBC=∠CFE
EC=CE
∴△EBC≌△CFE
∴BE=FC
∵∠BGE=∠FGC
∠EBG=∠CFG
BE=FC
∴△BGE≌FGC
∴BG=FG
(2)∵AD=CD
∴在Rt△AFD与Rt△DFC中
AD=CD
DF=DF
∴Rt△AFD≌Rt△CFD
∴AF=CF
∴在Rt△AFE与Rt△CFE中
AF=CF
∠AFE=∠CFE
EF=EF
∴△AFE≌△CFE
∴AE=EC
∴AE=EC=AC
∴∠EAC=∠ECA=∠ACE=60°
∴∠DAC=30°
又∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA=30°
∴DF=1
∴AF=根号三
又∵AC=CE
BC=BC
∴Rt△ABC≌Rt△EBC
∴AB=BE
又因为BE=CF=AF
∴AB=根号三