Question

已知方程x 3 +ax 2 +bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率．（1）求a+b+c的

已知方程x 3 +ax 2 +bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率．（1）求a+b+c的值；（2）求 b a 的取值范围．

Answer 1

（1）令f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c ∵抛物线的离心率为1 ∴1是方程f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c=0的一个实根 ∴a+b+c=-1 （2）1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入 f（x）=x 3 +ax 2 +bx-1-a-b =（x-1）（x 2 +x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x 2 +（a+1）x+1+a+b] 设g（x）=x 2 +（a+1）x+1+a+b g（x）=0的两根满足0＜x 1 ＜1，x 2 ＞1 g（0）=1+a+b＞0 g（1）=3+2a+b＜0 用线性规划得-2＜ b a ＜- 1 2 故答案为：-1， (-2，- 1 2 )