Question

已知点A(-3,4)B(1,5),在直线l:x-2y+4=0上找一点p,则|PA|+|PB|的最小值

不是这两点间的距离吗?....[不在直线两侧?

Answer 1

解：因为将A，B坐标分别代入x-2y+4计算：-3-2*4+4<0，1-2*5+4<0，
所以A，B两点在直线l: x-2y+4=0 的同侧.
设B‘为B关于x-2y+4=0的对称点，
则BB'⊥l，得BB‘为2x+y-7=0，
联立x-2y+4=0与2x+y-7=0，解得BB'与直线l的交点C(2,3)，
由中点公式得B'的坐标为B'(3,1).

设P是直线l:x-2y+4=0上一点，
仅当A，P，B‘ 三点共线时，即P为直线AB'与直线l的交点时，|PA|+|PB’|有最小值|AB'|.
（此由三角形两边之和大于第三边可证）

显然三角形BCP与三角形B'CP全等，即|PB|=|PB'|，
于是|PA|+|PB|=|PA|+|PB‘|.

故在直线l:x-2y+4=0上找一点P为直线AB'与直线l的交点时，
则|PA|+|PB|的最小值为|AB'|=√45=3√5 .