Question

若正整数a.b.c.x.y,z满足ax=b+c,by=a+c,cz=a+b,则乘积xyz可能有多少个

axbycz = (b+c)(a+c)(a+b) >= 8abc
所以xyz >= 8
设x>=y>=z(重点解释) 若x>=2 ,y>=2 ,z>=2(重点解释)
那么
2(a+b+c) = ax+by+cz >= 2(a+b+c)(重点解释)
所以此时给出x = y = z = 2

若z = 1(重点解释)
那么
c = a+b
ax = b+c = a+2b =>x = 1 + 2b/a(重点解释) (其实我认为a=2b就行了)

by = a+c = 2a+b =>y = 1 + 2a/b
x和y都是整数
所以a=b(其实我认为a=2b就行了)
此时给出x = y = 3

综合得x y z可取值为(2,2,2)和(3,3,1)
乘积可能为8或9

Answer 1

第一个点,他们三个肯定有个大小关系,姑且令他们的关系是这样， 就这样...
第2个点排除他们为1的情况（正整数）
2(a+b+c) = ax+by+cz 也就是题目的三式相加 因为x y z都.>=2 那么ax+by+cz>=2a+2b+2c 带入前式 要满足 则x=y=z=2
如果假设z=1 这是假设xyz中有正整数为1的情况 那么c=a+b 带入ax=b+c 也就是ax=a+2b x=1+2b/a
同理y=1+2a/b x和y都是正整数 那么 a/b 和 b/a都必须是整数， 很容易理解a=b 或者a=2b 则x，y取(2，5)或（3，3）

追问

那为什么x,y不可以为(2,5)呢?貌似都行吧,我看了很多的都是只有(222)(133)这两个答案,其实我就是想问一下x=2 y=5 z=1行不行

追答

可以啊 8 9 10都可以

Answer 2

我很奇怪，你第一步明白，后边不明白
axbycz = (b+c)(a+c)(a+b) >= 8abc
所以xyz >= 8
设x>=y>=z这是竞赛最基本的解法，三个数总有大小关系，你也可以设x<=y<=z,这个竞赛的基本解题技巧。下面你的答案不太好，应该（先把xyz等于1的情况讨论完，否则）
1.xyz都等于1显然不可能
2.y=z=1这样后有b=a+c c=a+b 相加b+c=2a+b+c a=0 矛盾，不可能
3.z=1，
c = a+b；ax = b+c = a+2b =>x = 1 + 2b/a
by = a+c = 2a+b =>y = 1 + 2a/b
如果b/a是不等于1的整数，那么a/b就是分数，这个分数乘以2要变整数必须是1/2
所以b/a=1或1/2 b/a=1代入可求x=y=3 z=1
b/a=1/2带入可求x=2y=5z=1与x>=y>=z矛盾舍去
4.xyz都大于等于2
三式相加2(a+b+c) = ax+by+cz >= 2(a+b+c)
这样当且仅当x=y=z时取等号，否则2(a+b+c) < ax+by+cz
此时x=y=z=2