Question

已知函数f(x)=alnx+|x-1|(a为常数)(1)当a=2/3时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;

(3)存在x∈[1/2，+∞)使不等式f(x)＜0成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

(1)定义域为x>0

当0<x<1时，f(x)=aln(x)+1-x,f'(x)=a/x-1 (1)
当x>1时， f(x)=aln(x)+x-1.f'(x)=a/x+1 (2)

当a=2/3时，（1）f'(x)=2/(3x)-1 （0<x<1)
f'(x)>0,解得：0<x<2/3 递增
f'(x)<0,解得：2/3<x<1 递减
(2) f'(x)=2/(3x)+1 (x>=1)
f'(x)>0解得：x>1
f'(x)<0解得：无解

所以，递增区间：(0,2/3]和[1，∞)
递减区间：(2/3,1)
(2)当a=2/3时，在[1,+∞)是递增的，最小值为x=1处，最小值为0

(3)当 1/2<=x<1时，f(x)=aln(x)+1-x,f'(x)=a/x-1, f(x)<0,即，f(x)max<0

当f'(x)>0时，a/x-1>0,即a>x,即a>1时，为增函数，最大值为f(1)=0
f(x)<0恒成立。（1/2<=x<1)
当f'(x)<0时，a<x,即a<1/2，此时为减函数，最大值为f(1/2)
aln(1/2)+1-1/2=aln(1/2)+1/2>0
a>1/(2ln(2)
约为：a>0.723 前提是a<0.5，两者矛盾，无解。

当x>=1时， f(x)=aln(x)+x-1,f'(x)=a/x+1 ,f(x)<0,即，f(x)max<0
f'(x)>0时，最小值为f(1)=0,f(x)<0不成立
f'(x)<0时，a/x+1<0,a<-x
最大值f(1)=0，f(x)<0恒成立(x>=1)

所以，a>1时， x在[1/2,1)区间，f(x)<0成立
a<-x时，x在(1,+∞)区间，f(x)<0成立

Answer 2

(1)、x>=1时 f'(x)=a/x+1=2/3x+1>0单调增
0<x<1时 f'(x)=2/3x-1 0<x<=2/3 f'(x)>o单调增 2/3<x<1单调减
(0,2/3]u[1,+∞)单调增(2/3,1)单调减
(2)、a<-1时，最小值为aln(-a)-a-1
a>=-1时最小值为0
（3）、a<-1或a>1/2ln2

Answer 3

(1)定义域为x>0
当0<x<1时，f(x)=aln(x)+1-x,f'(x)=a/x-1 (1)
当x>1时， f(x)=aln(x)+x-1.f'(x)=a/x+1 (2)
当a=2/3时，（1）f'(x)=2/(3x)-1 （0<x<1)
f'(x)>0,解得：0<x<2/3 递增
f'(x)<0,解得：2/3<x<1 递减
(2) f'(x)=2/(3x)+1 (x>=1)
f'(x)>0解得：x>1
f'(x)<0解得：无解
所以，递增区间：(0,2/3]和[1，∞)
递减区间：(2/3,1)
(2)当a=2/3时，在[1,+∞)是递增的，最小值为x=1处，最小值为0
(3)当 1/2<=x<1时，f(x)=aln(x)+1-x,f'(x)=a/x-1, f(x)<0,即，f(x)max<0
当f'(x)>0时，a/x-1>0,即a>x,即a>1时，为增函数，最大值为f(1)=0
f(x)<0恒成立。（1/2<=x<1)
当f'(x)<0时，a<x,即a<1/2，此时为减函数，最大值为f(1/2)
aln(1/2)+1-1/2=aln(1/2)+1/2>0
a>1/(2ln(2)
约为：a>0.723 前提是a<0.5，两者矛盾，无解。
当x>=1时， f(x)=aln(x)+x-1,f'(x)=a/x+1 ,f(x)<0,即，f(x)max<0
f'(x)>0时，最小值为f(1)=0,f(x)<0不成立
f'(x)<0时，a/x+1<0,a<-x
最大值f(1)=0，f(x)<0恒成立(x>=1)
所以，a>1时， x在[1/2,1)区间，f(x)<0成立
a<-x时，x在(1,+∞)区间，f(x)<0成立