Question

三道初中数学 关于角平分线定义的几何题 求高手大侠出手相助!!

图(1)

已知:如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90° ∠CAB的角平分线AD和高CH相交于点E,DF⊥AB于点F.
求证:CD=DF=EF=CE

图(2)

已知:如图(2),BD是△ABC的角平分线,E是边BC上的一点,且∠A+∠BED=180°.
求证:DA=DE

图(3) (本题可以直接使用第二题中的结论)

已知:如图(3),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,BD平分∠ABC
求证:BD+AD=BC

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Answer 1

郭敦顒回答：

图(1)
已知:如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90° ∠CAB的角平分线AD和高CH相交于点E,DF⊥AB于点F.
求证:CD=DF=EF=CE
证：∵∠CAD=∠FAD，DF⊥AB于点F，∠C=90°，∴∠AFD=∠C，AD为公共边，
∴Rt⊿ACD≌Rt⊿AFD，∴AC=AF，DC=DF（可直接用角平分线上的任一点距两边等距）；
∠ADC=∠ADF（对应角相等，也是等角的余角相等），CE为公共边，
∴△CED≌△FED，∴CE=FE，∠CED=∠FED，
连CF交DE于G，则CF⊥DE，且CG=FG
∵Rt⊿AGC≌Rt⊿AGF，∴CG=FG
∴Rt⊿CEG≌FDG，∴CE=FD
∴:CD=DF=EF=CE

图(2)
已知:如图(2),BD是△ABC的角平分线,E是边BC上的一点,且∠A+∠BED=180°.
求证:DA=DE
证：作DF=DE，且交BE于F，则∠DFE=∠DEF，
∵∠BFD+∠DFE=180°，∠A+∠BED=180°，
∴∠A=∠BFD，∠ABD=∠FBD，BD为公共边，
∴△ABD≌△FBD，∴AD=FD，而DF=DE
∴DA=DE。
先回答这些。
2012-11-25郭敦顒继续回答：
已知:如图(3),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,BD平分∠ABC
求证:BD+AD=BC
证：∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,BD平分∠ABC
∴∠B=∠C=40°，∠ABD=∠CBD=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°
作∠BDC的平分线DE交BC于E，延长BD至F，使DF=DE，连EF，则
∠BDE=∠CDR=∠CDF=∠ADB=60°，CD⊥EF于G，∠DEG=∠DFG=30°，
∴EG=FG，又∵CG为公共边，∴Rt⊿°CEG≌Rt⊿°CFG，
∴∠FCG=∠ECG=40°，∴∠BCF=80°，∴∠BFC=80°，∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF，而BF=BD+DF，DF=DE=DE=DA，（△ABD≌△EBD），
∴BD+AD=BC。
A
F
D

G

B E C

Answer 2

1、证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠B＝90
∵CH⊥AB
∴∠BAC+∠ACH＝90
∴∠B＝∠ACH
∵∠CED＝∠CAD+∠ACH，∠CDE＝∠BAD+∠B
∴∠CED＝∠CDE
∴CE＝CD
又∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90，DF⊥AB
∴CD＝DF，AC＝AF （角平分线性质）
∵AE＝AE
∴△ACE≌△AFE （SAS）
∴CE＝EF
∴CD=DF=EF=CE
2、证明：过点D作DP⊥BC于P，DQ⊥AB交BA的延长线于Q
∵DP⊥BC，DQ⊥AB
∴DP＝DQ （角平分线性质），∠EPD＝∠AQD＝90
∵∠BAC+∠BED＝180, ∠BAC+∠QAD＝180
∴∠BED＝∠QAD
∴△PED≌△QAD （AAS）
∴DA＝DE
3、证明：在BC上取点E，使BE＝BD，连接DE
∵AB＝AC，∠BAC＝100
∴∠ABC＝∠ACB＝（180-∠BAC）/2＝40
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC/2＝20
∵BE＝BD
∴∠BED＝∠BDE＝（180-∠CBD）/2＝80
∴∠BAC+∠BED＝180
∴AD＝DE （应用上一题结论）
∵∠C+∠CDE＝∠BED
∴∠CDE＝∠BED-∠C＝80-40＝40
∴∠CDE＝∠C
∴CE＝DE
∴CE＝AD
∵BE+CE＝BC
∴BD+AD＝BC

Answer 3

（1）证明：因为AD是角CAB的角平分线
所以角CAD=角BAD
因角ACB=90度
所以角ACH+角BCH=90度
因为CH是三角形ABC的高
所以角CHB=90度
所以角B+角BCH=角ACH+角BCH=90度
所以角ACH=角B
因为角CED=角CAD+角ACH
角CDE=角B+角BAD
所以角CED\角CDE
所以CE=CD
因为DF垂直AB于F
所以角AFD=90度
所以角ACB=角AFD=90度
因为角CAD=角BAD（已证）
AD=AD
所以三角形ACD和三角形AFD全等（AAS)
所以CD=DF
AC=AF
因为角CAD=角BAD
AE=AE
所以三角形AEC和三角形AFE全等（SAS)
所以CE=EF
所以CD=DF=EF=CE
(2)证明：在BC上截取BG=BA
因为BD是角ABC的角平分线
所以角BAD=角GBD
因为BD=BD
所以三角形ABD和三角形GBD全等（SAS)
所以DA=DG
角A=角BGD
因为角BGD+角DGE=180度
所以角A+角DGE=180度
因为角A+角BED=180度
所以角DGE=角BED
所以DG=DE
所以DA=DE
(3)证明：在BC上截取BE=BA,延长BD，使DF=AD，连接CF
因为BD是角ABC的平分线
所以角ABD=角EBD=1/2角ABC
因为BD=BD
所以三角形ABD和三角形EBD全等（SAS)
所以AD=DE
角A=角BED
因为AB=AC
所以角ABC=角C
因为角A=100度
所以角ABC=角C=40度
角ABD=20度
所以角ADB=180-角A-角ABD=60度
所以角BED=100度
因为角BED+角DEC=180度
所以角DEC=80度
因为角DEC+角C+角CDE=180度
所以角CDE=60度
因为角ADB=角CDF
所以角CDF=角CDE=60度
所以DE=DF
因为CD=CD
所以三角形CDE和三角形CDF全等（SAS)
所以角CED=角F=80度
角ACB=角FCD=40度
因为角BCF=角ACB+角FCD=80度
所以角F=角BCF
所以BC=BF
因为BF=BD+DF=BD+AD
所以BD+AD=BC

Answer 4

解：1，证明：∵∠ACB=90º∴AC⊥BC，∴DC⊥AC,∵DF⊥BC,∠CAD=∠BAD
∴DC=DF,C,F关于直线AD对称，∴EC=EF,∴∠CED=∠FED,又CH⊥AB,DF⊥AB,∴CH∥DF
∴∠CED=∠FDE,∠FED=∠CDE,∴∠FED=∠FDE,∴EF=DF,∴CD=DF=EF=CE.
2,连接AE，∵∠BAD+∠DEB=180°∴B,A,D,E四点共圆，∴∠ABD=∠DEA,∠EBD=∠EAD,
又∵∠ABD=∠EBD,∴∠DEA=∠EAD,∴AD=DE;
3，做∠BED=80°,∵∠BAC=100°∴∠BAC+∠BED=180°∴AD=DE,∵AB=AC∴∠C=(180°－100°)/2 =40° 又∵∠BED=∠C+∠EDC=80°∴∠EDC=80°-40°=40°∴∠C=∠EDC∴ED=EC
又∵∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=40°/2=20°,∵∠BDC=∠ABD+∠A=100°+20°=120°,
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC∴∠BDE=120°﹣40°=80°∴∠BDE＝∠BED=80°∴BD=BE
∴BC=BE+EC=BD+ED=BD+AD,∴BD+AD=BC.

Answer 5

　　1、因为∠ACD=90度，DF⊥AB，AD平分∠ACB，
　　所以，CD=DF（角平分线性质定理），∠CAD=∠BAD，∠CAD+∠CDA=90度；
　　因为AH⊥AB，所以，CE//DF，∠BAD+∠AEH=90度；
　　所以∠AEH=∠CDA；
　　又因为∠AEH=∠CED，
　　所以，∠CED=∠CDA；
　　所以，CE=CD=DF，
　　所以四边形CEFD是菱形，
　　所以CD=DF=EF=CE
　　2、在BC上截取BF=BA，由“边角边”定理可证三角形ABD全等于三角形FBD，
　　所以AD=FD，∠BFD=∠A,
　　因为∠A+∠BED=180°，∠BFD+∠EFD=180°.
所以∠DFE=∠DEF,　　
　　所以AD=DF=DE
3、作CD的中垂线，交BC于点E，则DE=DC，所以∠EDC=∠C
因为AB=AC，∠BAC=100°
所以∠EDC=∠C=∠ABC=40°，
所以∠BED=2∠C=80°
又因为∠A=100°，
所以∠A+∠BED=180°
由第2题可知AD=DE=CE
因为∠DBE=1/2∠ABC=20°，∠BED=80°
所以∠BDE=80°=∠BED
所以BE=BD
因为BE+CE=BC
所以BD+AD=BC

Answer 6

第一题
因为角平分线AD平分∠CAB
所以∠DAB=∠CAD
因为∠ADB=∠DFA且AD=AD
所以CAD全等于FAD
所以CD=FD
因为∠DAB+∠FDA=90度，∠CAD+∠CDA+90度，
所以∠FDA=∠CDA
因为CH垂直AB DF垂直AB
所以CH//DF
所以∠AEH=∠ADF=∠CED
所以CE//=DF
所以四边形CEFD是平行四边形
因为对角线DE 所以∠FED=∠FDE
所以∠FED=∠FDE=∠CDE=∠CED
所以CE=EF=FD=CD
这么写好累的。 希望能采纳一题先

Answer 7

(1)证明:
''AD是∠cab的平分线，∠acb=90°，DF⊥AB
所以CD=DF,CH平行DF，∠CAD=∠DAB
又因为，∠acb=dfa=90°；，∠CAD=∠DAB，AD=AD
所以；△acb全等与△dfa
所以AC=AF
又因为∠CAD=∠DAB，AE=AE，AC=AF
所以△CAE全等与△EAF
所以CD=DF=EF=CE