Question

当a，b，c＞0时，a+b+c=3√abc？？为什么

Answer 1

解答：
应该是3次根号下。
这个是三个数的均值不等式
证明如下:
先证明a³+b³+c³≥3abc
(a,b,c>0)
∵
a³+b³+c³-3abc
=[(
a+b)³-3a²b-3ab²]+c³-3abc
=[(a+b)³+c³]-(3a²b+3ab²+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=(1/2)(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
≥0
∴
a³+b³+c³≥3abc
(a,b,c>0)
将
a³，b³，c³换成a,b,c
即得
a+b+c
≥
3
³√abc

Answer 2

只要证明2（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）>=2（a^2bc+ab^2c+abc^2）
即证a^2(b^2+c^2)+b^2(a^2+c^2)+c^2(a^2+b^2)>=a^2(2bc)+b^2(2ac)+c^2(2ab)
也即a^2(b-c)^2+b^2(a-c)^2+c^2(a-b)^2>=0
显然成立，所以原不等式成立