Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点

在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
求详细过程、、、
不要用平面向量的方法，要几何证明、、、

Answer 1

1) 因为A1B1，DE⊥平面AA1D1D，所以A1D是B1E在平面AA1D1D上的投影

    又AA1=AD=1，矩形AA1D1D是正方形，有A1D⊥AD1

    根据三垂线定理，A1D⊥AD1，A1D是B1E在平面AA1D1D上的投影，得B1E⊥AD1

2) 存在这样的P，AP=1/2

     先证AP=1/2符合条件：

     过P作PQ∥A1B1，交AB1于Q，联结QE

     AP=1/2=AA1/2，PQ∥A1B1，则PQ是△AA1B1的中位线

     有PQ=A1B1/2=DC/2=DE，又DE∥A1B1∥PQ

     所以四边形DEQP是平行四边形，PD∥QE

     而QE在平面B1AE上，所以DP∥平面B1AE

 

 

     再证P的唯一性：

     若不然，设AA1上有异于P的一点P'，使DP'∥平面B1AE

     由于DP，DP'两条不同的直线相交，且有DP，DP'∥平面B1AE

     所以平面DPP'∥平面B1EA，即平面ADD1A1∥平面B1AE

     这与平面ADD1A1于平面B1AE交于A矛盾

     所以AP=1/2

追问

“A1D是B1E在平面AA1D1D上的投影”这是什么意思

追答

想象有一束光从长方体的右边向左边射过来，那么B1E在平面AA1D1D上留下来的影子就是A1D，
也就是“A1D是B1E在平面AA1D1D上的投影”
我用“投影”是为了用三垂线定理，这个定理挺好用的。

参考资料： http://baike.baidu.com/view/550991.htm#sub5687437