Question

已知函数f（x）=x2-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．

（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

Answer 1

已知函数f（x）=x2-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

(1)解析：∵函数f(x)=x^2-4x+a+3，在[-1，1]上存在零点，
其对称轴为x=2
⊿=4-4a>=0==>a<=1
X1=2-√(1-a),x2=2+√(1-a)
-1<=2-√(1-a)<=1==>-3<=-√(1-a)<=-1==>1<=(1-a)<=9==>0<=-a<=8==>-8<=a<=0
取二者交：-8<=a<=0

(2)解本问的关键是正确理解题意：
即对于x∈[1,4]时，总存在(总可以找到一个x，使f（x1）=g（x2）成立，如何找到呢？只要使f(x)的值域是g(x)的值域的子集即可
当x∈[1,4]时，函数值域f(x) ∈[-1,3]，g(x) ∈[5-m,5+2m]（m>0）或g(x) ∈[5+2m,5-m]（m<0）
解析：∵a=0，∴f(x)=x^2-4x+3
∵g(x)=mx+5-2m，对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立
f(1)=0, f(2)=-1, f(4)=3
∴当x∈[1,4]时，f(x) ∈[-1,3]
g(1)=5-m, g(4)=5+2m
∴当x∈[1,4]时，g(x) ∈[5-m,5+2m] （m>0）或g(x) ∈[5+2m,5-m]（m<0）
当m>0时
5-m<=-1==>m>=6，5+2m>=3==>m>=-1
∴m>=6
当m<0时
5+2m<=-1==>m<=-3，5-m>=3==>m<=2
∴m<=-3
取二者并m<=-3或m>=6

(3)解析：∵函数f(x)=x^2-4x+a+3，x∈[t,4] (t<=4)
∵其对称轴为x=2，其最小值为a-1
以下就定义区间与函数对称轴作比较展开讨论：
∴当t>=2时，D=[ t^2-4t+a+3, a+3]，其区间长度为4t-t^2
令4t-t^2=7-2t==>t^2-6t+7=0
解得t1=3-√2,t2=3+√2(不合题意舍)
当0<=t<2时，D=[ a-1, a+3]，其区间长度为4
令4=7-2t==>t=3/2
当t<0时，D=[a-1, t^2-4t+a+3]，其区间长度为t^2-4t+4
令t^2-4t+4=7-2t==>t^2-2t-3=0
解得t1=-1,t2=3(不合题意舍)

综上：t=-1或t=3/2或t=3-√2

Answer 2

1）f(x)=(x-2)^2+a-1,在（负无穷大，2】是单调递减的，又y=f（x）在[-1，1]上存在零点，故
a-1<0,f(1)*f(-1)<=0 => -8<=a<=0
2)f(x)在[1,4]上的值域为[-1,3],当m<0时，g(x)的值域为[5+2m,5-m] => 5+2m<=-1,5-m>=3
得m无解；当m>o时g(x)的值域为[5-m，5+2m] => 5+2m>=3,5-m<=-1得m>=6
3)当t>2时，函数的值域为[t^2-4t+a+3,a+3]D 的长度为4t-t^2=7-2t得t=3-根号2,；
当2-t<2时，函数的值域为[a-1,a+3]D的长度为4=7-2t得t=3/2
当2-t>2时，函数的值域为[a-1,t^2-4t+a+3]D的长度为t^2-4t+4=7-2t得t=-1

Answer 3

(1)X^2-4x+a+3=0 x ∈[-1,1]，a=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1 所以a∈[-8,0]
(2)当a=0时，f(x)=x^2-4x+3 在x∈[1,4],此时f(x)∈[-1,3]
1.m=0不符合题意
2.m>0时g(x)单调递增 则 g(1)≤-1且g(4)≥3,解得m≥6
3.m<0时g(x)单调递减 则g(4)≤-1且g(1)≥3 解得m≤-3
综合得m≥6或m≤-3
(3)
1.t≤0时 f(x)值域为[-1+a,t^2-4t+a+3]
所以t^2-4t+4=7-2t 解得t=-1,t=3(舍）
2.0<t<2时,f(x)值域为[-1+a,a+3]所以4=7-2t t=3/2
3.2≤t≤4时,f(x)值域为[t^2-4t+a+3,a+3]所以-t^2+4t=7-2t，无实数解
综合得t=-1,或t=3/2

Answer 4

(1)易知f(x)在[－1，1]上递减，则f(-1)≧0，f(1)≦0，得－8≦a≦0
(2)f(x)在[1，4]值域为[a-1，a 3]，分两种情况讨论m<0和m>0求出g(x)值域，对比就得到m值范围
(3)当t≧2时，D为[f(t)，a 3]
当t≦0时，D为[a－1，f(t)]
当0＜t＜2时，D为[a－1，a 3]
之后再计算出D的长度，看看是否存在一个a能满足上式，若能，就存在t，并求出，反之，亦然