Question

已知定义在实数集上的函数y=fx满足 f（x）+（y）=f（x）+f（y）,且f(x)不恒等于0,则y=f(x)是

奇函数？偶函数？为什么？谢谢！！！

Answer 1

题目如果写成 f(x+y)=f(x)+f(y)
则x=0，y=0时得f(0)=2f(0)
f(0)=0
取y=-x
则f(0)=0=f(x)+f(-x)
所以f(x)为奇函数

追问

为什么可以令x=-y？

追答

x，y为任意数，取任何数函数都满足f(x+y)=f(x)+f(y)
所以y=-x这一特殊情况也是满足的
因为是考虑函奇偶性问题即是考虑函数是否有0=f(x)+f(-x)或者f(x)=f(-x)的性质
所以就题意而言首先思考的是将其中一个函数的变量变成另一个的相反数结果等式变成f(0)=f(x)+f(-x)
然后再考虑f(0)是否为0，是的话就是奇函数，
证明的步骤和思考的步骤刚好相反，所以理解上可能有点……

Answer 2

题目错误！
f(x)+(y)=f(x)+f(y)恒成立，条件无意义！
应该是： f(x+y)=f(x)+f(y)

∵f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
∴f(0)=0
∴0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
∴-f(x)=f(-x)
∴f(x)为奇函数
不懂追问~

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

追问

为什么可以令x=-y？

追答

因为肯定存在一组数，使得x=-y
比如：x=1，y=-1
PS：x=-y不是指x【永远】等于-y，而是指x等于-y【时】

追问

那么为什么当x=-y时是奇函数就说名他是奇函数？

追答

x=-y时，推出来的只是一个条件【f(0)=0】，这个条件是恒成立的
也就是说，如果x等于0，f(x)一定等于0

而不是通过x=-y直接推出了f(x)是奇函数

思路流程：
令x=-y，得到恒成立的条件f(0)=0，由恒成立的条件，得到f(x)是奇函数

Answer 3

楼主题目有误！
原题应该是：已知定义在实数集R上的函数y=f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（x）不恒等于零，则y=f（x）是（　　）。

分析：由椭圆可得：令x=y=0时，则有f（0）=0，所以令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，则有f（-x）=-f（x），进而得到答案．

证明：当x=y=0时，则有f（0）=f（0）+f（0）=2（0），
所以f（0）=0，
所以令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
则有f（-x）=-f（x），
又因为函数的定义域为R，
所以符合奇函数定义，即函数y=f（x）是奇函数．
故答案应为奇函数。

注意：解决此类问题的关键是熟练掌握奇函数的定义域，以及利用赋值法求函数值并且证明函数的奇偶性．

【数不胜数】团队为您解答，望采纳O(∩_∩)O~

追问

为什么要证明f0=0？

追答

你好，这样做是为了验证已知条件 f（x）+（y）=f（x）+f（y）,
即令y=-x，得出f(0)=0，
所以f（-x）=-f（x），从而判断函数符合奇函数定义域，所以得到f(x)是奇函数。

不懂请继续追问，满意请采纳，【数不胜数】团队为您解答O(∩_∩)O~