Question

如图1，梯形abcd中，ad平行bc，ab=cd=4倍根号3，ad=3，∠b=30°，动点e从b出发，以每秒1个单位长度的速

如图1，梯形abcd中，ad平行bc，ab=cd=4倍根号3，ad=3，∠b=30°，动点e从b出发，以每秒1个单位长度的速度在线段bc上运动，动点f同时从点b出发，以每秒2个 长度的速度在bc上运动，以ef为等边三角形efg，与梯形abcd在线段bc的同侧，设e，f运动时间为t，当f到达c时，运动结束，
1.当等边三角形efg的边eg恰好经过点a，求运动时间t的值
2.在整个运动过程中，设等边三角形efg与梯形abcd的重合部分面积为s，直接写出s与t的函数关系和t的取值范围
3.如图2，当点f到达c点时，将等边三角形efg绕点e旋转a°，（0＜a＜360），直线ef分别与直线cd，直线ad交于m，n，是否存在a，使三角形dmn为等腰三角形？求出dm的长

Answer 1

Answer 2

解：（1）由已知得：AM=4-2t，AP=4-3+t=1+t，
故答案为：4-2t，1+t．
（2）∵梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半
∴1 2 （t+4-2t）•4=1 2 •1 2 （3+4）•4，解得t=1 2 ，
∴当t=1 2 时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半，
（3）存在
∵AD=CD，∠ADC=90°∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD翻折，得△AKM∴QM=MK，AQ=AK
∠KAQ=2∠CAD=90°，
要使四边形AQMK为正方形，则AQ=MQ，
∵NP⊥MA∴MP=AP∴AM=2AP，∴4-2t=2（1+t）∴t=1 2 ，
∴当t=1 2 时，四边形AQMK为正方形．答：存在，dm的长12.