Question

设扇形的周长为a当扇形的面积最大时,扇形的中心角为

Answer 1

设扇形的半径为R，弧长为L，则2R+L=a
扇形的面积=1/2*RL=1/2*R（a-2R）
=-R²+1/2aR
当R=1/4*a时，扇形的面积最大，
这时L=1/2a
扇形的中心角=L/R=（1/2a）/（1/4*a）=2（弧度）=114.6度

Answer 2

设中心角为b，半径为r
周长a=2r+br,得：r=a/(2+b)
则面积S=1/2 br^2=1/2*b*a^2/(2+b)^2=a^2/2* b/(2+b)^2=a^2/2* 1/(b+4/b+4)
因为b+4/b>=2√(b*4/b)=4, 当b=4/b即b=2时取最大。
所以S<=a^2/2*1/(4+4)=a^2/16
当中心角为2时，扇形面积最大为a^2/16