Question

已知数列﹛an﹜各项均为正数且a1=1,a²n+1－an+1=a²n+an

求数列﹛an﹜的通项公式和bn=1/a²n数列﹛bn﹜前n项和Tn，求证Tn＜2

Answer 1

a(n+1)²-a(n+1)=an²+an

[a(n+1)²-an²]-[a(n+1)+an]=0
[a(n+1)+an][a(n+1)-an]-[a(n+1)+an]=0
[a(n+1)+an][a(n+1)-an-1]=0
数列各项均为正，a(n+1)+an>0，要等式成立，只有a(n+1)-an-1=0
a(n+1)-an=1，为定值。
又a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
数列{an}的通项公式为an=n
bn=1/an²=1/n²
n≥2时，1/n²<1/[(n-1)n] 注意：这里用到了放缩法，后面的过程要用到。
Tn=b1+b2+b3+...+bn
=1/1²+1/2²+1/3²+...+1/n²
<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2 -1/n<2
Tn<2

Answer 2

an=n,(nEn+,)