Question

数学大题

（2012•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以 5cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为

cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）点P在AD段的运动时间为2s，则DP的长度为（t-2）cm；
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，如图（3）a利用“S=S梯形AQPD-S△AMF=
1
2
（PD+AQ）•PQ-
1
2
AM•FM”求出面积S的表达式；如图（3）b利用“S=S梯形AQPG-S△AMF=
1
2
（PG+AC）•PC-
1
2
AM•FM”求出面积S的表达式．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=
AC2+BC2
=
82+42
=4
5
，
D为AB中点，∴AD=2
5
，
∴点P在AD段的运动时间为
2
5

5

=2s．
当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1cm/s，
∴DP=（t-2）cm，
故答案为：t-2；
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如下图所示：

①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．
由三角形中位线定理可知，DM=
1
2
BC=2，∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；
②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．
∵DE=
1
2
AC，AC=8cm，∴点P在DE段的运动时间为4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=
20
3
，
所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=
20
3
；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=
1
2
AM=
1
2
t，
S=S梯形AQPD-S△AMF=
1
2
（DP+AQ）•PQ-
1
2
AM•FM=
1
2
[（t-2）+（2+t）]×2-
1
2
t•
1
2
t=-
1
4
t2+2t；
②当
20
3
＜t＜8时，如图（3）b所示．
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=
1
2
AM=6-
1
2
t，PG=2PB=16-2t，
S=S梯形AQPG-S△AMF=
1
2
（PG+AC）•PC-
1
2
AM•FM=
1
2
[（16-2t）+8]×（t-4）-
1
2
（12-t）•（6-
1
2
t）=-
5
4
t2+22t-84．
∴综上所述，S与t的关系式为：S=

-
1
4
t2+2t(2＜t＜4)

-
5
4
t2+22t-84(
20
3
＜t＜8)

．

Answer 2

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