Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足 an+log3n=log3b

已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn，求数列{bn}的前n项和；（3）若正数数列{cn}满足cnn+1=(n+1)an+12n（n∈N*），求数列{cn}中的最大值．

Answer 1

（1）∵S_n=n²-n，∴当n=1时，有a₁=S₁=0
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-（（n-1）²-（n-1））=2n-2
当n=1时也满足．
∴数列 {a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N^*）
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得：b_n=n?3^2n-2（n∈N^*）
∴数列{b_n}的前n项和T_n =1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n?3²ⁿ，
相减可得-8T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n?3²ⁿ=

32n?1

8

-n?3²ⁿ，
∴T_n=

(3n?1)?32n+1

64

；
（3）由c_nⁿ⁺¹=

(n+1)an+1

2n

可得：c_nⁿ⁺¹=n+1，∴lnc_n=

ln(n+1)

n+1

令f（x）=

lnx

x

，则f'（x）=

1?lnx

x2

，
∴n≥2（n∈N^*）时，{lnc_n}是递减数列，
又lnc₁＜lnc₂，
∴数列{c_n}中的最大值为c₂=3

1

3

．