Question

设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠b*a，证明：

Answer 1

【答案】：用反证法。假设对于A中的任何元素a，都有a*a≠a，则由命题条件，有
a*(a*a)≠(a*a)*a．
而(A，*)是一个半群，二元运算*具有结合律，即
a*(a*a)=(a*a)*a．
二者矛盾．故对于A中的每个元素a，必有a*a=a．$用反证法．假设缓燃对于A中的任何元素a和b，都有a*b*a≠a，则由命题条件，有
a*(a*b*a)≠(a*b*a)*a．
由(1)的结论，有
a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a．
二者矛盾．故对于A中雀漏的任何元素a和b，必有a*b*a=a．$用反证法．假设对于A中的任何元素a、b和c，都有a*b*c≠a*c，则由命题条件，有
(a*b*c)*(a*c)≠(a*c)*(a*b*c)．
由(2)的结论，有
(a*b*c)*(a*c)=a*b*(c*a*c)=a*b*c．
且 (a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*b*c=a*b*c，
即 (a*b*c)*(a*c)=(a*c)*(a*b*c)．
二者矛盾．故对于A中的任何元素a、b、c，必有顷哪烂
a*b*c=a*c．