Question

若|x|≤π/4，且f（x）=cosx-acosx的最小值为-1/4求a的值。 求过程。谢谢

常考答案是3/4√2 但是我算出来是正负1.

Answer 1

f（x）=cosx-acosx=（cosx-a/2）-1/4a 因为|x|≤π/4 则 √2/2≤cosx≤1 分情况讨论： (1)当a/2≤√2/2时， 即 a≤√2时，最小值是（√2/2-a/2）-1/4a=-1/4 解得a=3/4√2 满足a≤√2 所以 a=3/4√2 （2）当√2/2<a/2≤1时， 即√2<a≤2 时，最小值是-1/4a=-1/4 解得a=1或者a=-1 不满足√2<a≤2 所以不成立 （3）当a/2>1时， 即 a>2 时，最小值是（1-a/2）-1/4a=-1/4 解得a=5/4 不满足a>2 所以不成立 综合（1）（2）（3）得到： a=3/4√2 希望能帮到你，祝学习进步
麻烦采纳，谢谢!

Answer 2

|x|≤π/4时 cosx∈[√2/2,1] 令t=cosx 则t∈[√2/2,1] 令g（t）=t-at 开口向上 对称轴t=a/2 分类讨论： 1） a/2≤√2/2 即 a≤√2时 最小值为g（√2/2）=-1/4 解得a=3/4*√2 ≤√2 满足 2）√2/2≤a/2≤1 即√2≤a≤2时 最小值为g（a/2）=-1/4 解得a=±1 不满足√2≤a≤2 3）a/2≥1 即a≥2时 最小值为g（1）=-1/4 解得a=5/4 也不满足 综上 答案为3/4*√2 ^ ^ 这是分类讨论的方法 其实还可以用分离变量的方法，（即t-at≥-1/4对任意t∈[√2/2,1]恒成立 并且等号可以取到 ）更简单一些，你可以自己尝试~