Question

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知s10=0，s15=25，则2nSn的最小值为______

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知s10=0，s15=25，则2nSn的最小值为______．

Answer 1

设S_n =a?n²+bn，则由s₁₀=0，s₁₅=25，可得100a+10b=0，225a+15b=25．
求得a=

1

3

，b=-

10

3

，∴S_n =

1

3

?n²-

10

3

n，故2nS_n=

2

3

n³-

20

3

n²．
令f（n）=2nS_n=

2

3

n³-

20

3

n²，则f′（n）=2n²-

40

3

n=2n（n-

20

3

）．
在（0，

20

3

）上，f′（n）＜0，f（n）为减函数；在（

20

3

，+∞）上，f′（n）＞0，f（n）为增函数，
故当n=

20

3

时，函数f（n）取得最小值．
再根据n为正整数，可得当n=7时，函数f（n）取得最小值为-98，
故答案为：-98．