Question

设{an}满足下列条件:0<an<1,(1-an)a(n+1)>1/4,n=1,2,... 证明:(an)收敛并且求其极限

an 和 a(n+1)是数列第n项和第n+1项。请用数学分析的知识分析。谢谢！！！

Answer 1

由(1-an)*a(n+1)>1/4得，a(n+1)>1/4(1-an)>1/4,，所以数列an有下界，而又根据0<an<1得，
an-a(n+1)>an-an*a(n+1)>1/4>0，所以an>a(n+1)，即an单调下降，所以an单减有下界，故极限存在，令liman=A，则有(1-A)A≥1/4，解得(2A-1)^2≤0，故A=1/2

Answer 2

a[n+1]-a[n] > 1/4 1/(1-a[n]) - a[n] = (1-2a[n])^2/(4-4a[n]) > 0
a[n]单增
又a[n]<1有上界，由单调有界定理知必收敛，设其极限为A：
(1-A)A>=1/4 (极限时通常严格不等式要变成非严格不等式)

(A-1/2)^2<=0
A=1/2