如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥底面ABCD，若EC＝λPC，λ∈...
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥底面ABCD，若EC＝λPC，λ∈（0，1）．（1）求证：PA⊥DE；（2）若二面角E-BD-A的余弦值为?33，求实数λ的值．
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解答：
（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴DC⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴DC⊥PA，
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC，
又∵DE?平面PDC，
∴PA⊥DE；
（2）过P点作AD的垂线交AD于点O，连接OB，
以O点为坐标原点，OB为x轴正向，OD为y轴正向，OP为z轴正向，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（x，y，z），
∴
=（1，1，-1），
=（1-x，1-y，-z），
由
＝λ
，得
，∴E（1-λ，1-λ，λ），
显然，面ABD的一个法向量为
=（0，0，1），
设面EBD的法向量为
=（x，y，z），
则
=（-1，1，0），
=（-λ，1-λ，λ），
∴
，则
，
，则
＝(1，1，
)，
由二面角E-BD-A的余弦值为-
（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴DC⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴DC⊥PA，
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC，
又∵DE?平面PDC，
∴PA⊥DE；
（2）过P点作AD的垂线交AD于点O，连接OB，
以O点为坐标原点，OB为x轴正向，OD为y轴正向，OP为z轴正向，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（x，y，z），
∴
| PC |
| EC |
由
| EC |
| PC |
|
显然，面ABD的一个法向量为
| n |
设面EBD的法向量为
| m |
则
| BD |
| BE |
∴
|
|
|
| m |
| 2λ?1 |
| λ |
由二面角E-BD-A的余弦值为-
|
