Question

设等比数列{an}的前n项的和为Sn，公比为q（q≠1）．（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14

设等比数列{an}的前n项的和为Sn，公比为q（q≠1）．（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14成等差数列；（2）若Sm，Sk，St（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{an}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；（3）若q为大于1的正整数．试问{an}中是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．

Answer 1

（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差数列，q≠1，则2S₁₂=S₄+S₈，
∴

2a1(1?q12)

1?q

=

a1(1?q4)

1?q

+

a1(1?q8)

1?q

∴2q⁸=1+q⁴
∴a₁₀+a₁₄=a1q9+a1q13=a1q9(1+q4)=a1q9?2q8=2a₁₈，
∴a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差数列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，则2S_k=S_m+S_t，
∴

2a1(1?qk)

1?q

=

a1(1?qm)

1?q

+

a1(1?qt)

1?q

∴2q^k=q^m+q^t
∴2a1qk＝a1qm+a1qt
∴a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差数列，
∴a_m+2，a_k+2，a_t+2成等差数列；
（3）假设存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a_k=a_n+a_n+1，
则a1qk?1＝a1qn?1+a1qn
∵a₁≠0，q＞1
∴q^k-1=q^n-1+qⁿ
∴q^k=qⁿ+qⁿ⁺¹
∵qⁿ⁺¹＞1
∴q^k＞qⁿ
∴k＞n，q^k-n=1+q
当q为偶数时，q^k-n为偶数，而1+q为奇数，假设不成立；
当q为奇数时，q^k-n为奇数，而1+q为偶数，假设也不成立，
综上，{a_n}中不存在a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和．