Question

判别式法（△法）：求函数y=(x^2-5x+6)/(x^2+x-6)的值域

判别式法（△法）：求函数y=（x^2-5x+6）/(x^2+x-6)的值域（用两种方法）
请写出详细过程

Answer 1

x^2+x-6=(x+3)(x-2)不等于0 ，x不等于-3和2
y(x^2+x-6)=x^2-5x+6
(1-y)x^2-(5+y)x+6+6y=0有解。
△=（5+y）^2-4(1-y)(6+6y)
=25-10y+y^2-24+24y^2
=25y^2-10y+1=(5y-1)^2》0
y为任何值时方程都有解，所以y的值域为R

2、y=（x^2-5x+6）/(x^2+x-6)
=[（x^2+x-6)-6(x-2）]/(x^2+x-6)
=1-6/(x+3)

Answer 2

y=(x²-5x+6)/(x²+x-6)
yx²+yx-6y=x²-5x+6
(y-1)x²+(y+5)x-6y-6=0
因为x存在
①y-1≠0,即y≠1时,△=(y+5)²-4(y-1)(-6y-6)
=25y²+10y+1
=(5y+1)²≥0
所以△≥0恒成立
故y≠1
②y-1=0,即y=1时 6x-12=0,解得x=2,故y=1存在

综上：值域y∈R