Question

已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）-1，且当x＞

已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）-1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

（1）令x₁=x₂=1，
∴f（1）=f（1）+f（1）-1
∴f（1）=1，
（2）：设令0＜x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）＞1
∴f（

x2

x1

）＞1，
∴f（

x2

x1

?x₁）=f（x₂）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）令x₁=x₂=4，
∴f（16）=f（4）+f（4）-1=3
∴f（4）=2，
∴f（3x+1）≤2=f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴

3x+1＞0 3x+1≤4

，
解得?

1

3

＜x≤1，
故不等式f（3x+1）≤2的解集为（?

1

3

，1]．