Question

问: 假设群G是一个阶为偶数的群,证明在G中阶为2的元数的个数是奇数

Answer 1

分析：阶为的元素只有一个，是单位元e。要证明阶为2的元素有奇数个，只要证明阶大于2的元素有偶数个即可。

证明：

设a的阶为k＞2，则a的逆元的阶也是k，且a≠a逆。若a=a逆，则a^2=e，与a的阶k＞2矛盾。所以阶大于2的元素一定是成对出现，有偶数个。

阶为1的元素只有一个，是单位元e。

G的元素个数是偶数，所以阶为2的元素一定有奇数个。

关于偶数和奇数，有下面的性质：

（1）两个连续整数中必是一个奇数一个偶数。

（2）奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数。

（3）两个奇（偶）数的和或差是偶数；一个偶数与一个奇数的和或差一定是奇数。

（4）除2外所有的正偶数均为合数。

（5）相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。

（6）奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数。

Answer 2

分析：阶为的元素只有一个，是单位元e。要证明阶为2的元素有奇数个，只要证明阶大于2的元素有偶数个即可。

证明：
设a的阶为k＞2，则a的逆元的阶也是k，且a≠a逆。若a=a逆，则a^2=e，与a的阶k＞2矛盾。所以阶大于2的元素一定是成对出现，有偶数个。
阶为1的元素只有一个，是单位元e。
G的元素个数是偶数，所以阶为2的元素一定有奇数个。

追问

为什么a＝a逆 a²=e

追答

两边乘以a就是了

Answer 3

一个元素和它的逆元同阶，所以阶大于2的元素的逆元是不同于自身的其他元素，由于逆元是唯一的，所以阶大于2的元素和其逆元可一一配对，因此个数是偶数个。而1的阶是1，所以阶为2的元素个数为|G|(偶数）-偶数-1=奇数。

Answer 4

依定义群中的每个元素必有逆元，当且仅当元素的阶为2时其逆元是他自身
元素的阶和其逆元的阶相等
所以对于阶大于2的元素，可以每个元素与其逆两两配对
配对后剩下的是阶为2的元素和一个单位元
又G为偶阶群，所以2阶元有奇数个