Question

求定积分∫（1,0）xarcsinxdx

Answer 1

∫（1,0）xarcsinxdx的值等于π/8。

解：令F(x)=∫xarcsinxdx，那么∫（1,0）xarcsinxdx=F(1)-F(0)。

F(x)=∫xarcsinxdx

=∫t*sintdsint              （令t=arcsinx，则x=sint）

=1/2*∫t*sin2tdt

=-1/4∫tdcos2t

=-t/4*cos2t+1/4∫cos2tdt

=-t/4*cos2t+1/8sin2t+C

=-1/4*arcsinx*(1-2x^2)+1/4*x*√(1-x^2)+C

那么∫（1,0）xarcsinxdx=F(1)-F(0)

=π/8

即∫（1,0）xarcsinxdx的值等于π/8。

扩展资料：

1、定积分的性质

若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)

（1）a=b时，则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0

（2）a≠b时，则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)

（3）∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*（F(b)-F(a)），（其中k为不为零的常数）

2、不定积分的运算法则

（1）函数的和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差）。即：

∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx

（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：

∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx

3、不定积分公式：∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-定积分