Question

函数f（x）=x^2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ）≤0，且f(sinθ+2）≥0(1

)求p、q之间的关系式(2)求p的取值范围(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14,求p的值

Answer 1

1）因f(sinθ）≤0，故f（x）在[ -1,1]上≤0

f(sinθ+2）≥0 ，故f（x）在[ 1,3]上≥0

故f（x）与X轴交于(1，0）点即f（1）=0

故1+p+q=0，故p+q= -1

2）由（1）知f（x）在[ -1,1]上≤0 ， f（x）在[ 1,3]上≥0 ， f（x）与X轴交于(1，0）点即f（1）=0

则f（x）在[ -1,1]上与X轴没有交点

因f（x）与X轴交于(1，0）点

故f（x）的对称轴x= -p/2≤（1+（- 1））/2（2交点到对称轴距离相等）

故p≥0

3）因 f（x）与X轴交于(1，0）点，f（x）在[ 1,3]上≥0 ，f（x）=x^2+px+q

故f（x）开口向上且在[0，正无穷]上单调递增，

故f(3)=14,即9+3p+q=14

因p+q= -1即q= - p - 1

解得p=3