Question

已知数列{an}，a1=1，a2n=an，a4n-1=0，a4n+1=1（n∈N*）．求详细解答第二问

已知数列{an}，a1=1，a2n=an，a4n-1=0，a4n+1=1（n∈N*）．
（1）求a4，a7；
（2）是否存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．

Answer 1

【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用a1=1，a2n=an，a4n-1=0，即可求a4，a7；
（2）假设存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an，则存在无数个正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．对T分奇数、偶数进行讨论，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a1=1，a2n=an，a4n-1=0，
∴a4=a2=a1=1；a7=a4×2-1=0．
（2）假设存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．
则存在无数个正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．
设T为其中最小的正整数．
若T为奇数，设T=2t-1（t∈N*），则a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0，与已知a4n+1=1矛盾．
若T为偶数，设T=2t（t∈N*），则a2n+T=a2n=an，
而a2n+T=a2n+2t=an+t，从而an+t=an．
而t＜T，与T为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an．…（13分）
【点评】本题考查数列递推式，考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．