Question

已知函数f（x）=sin（ωx+π6）+sin（ωx-π6）-2cos2ωx2（x∈R，ω＞0）（1）求f（x）的值域；（2）若f

已知函数f（x）=sin（ωx+π6）+sin（ωx-π6）-2cos2ωx2（x∈R，ω＞0）（1）求f（x）的值域；（2）若f（x1）=f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为π2，求f（x）的递增区间．

Answer 1

（1）f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

=2sinωxcos

π

6

-2cos²

ωx

2

=

3

sinωx-cosωx-1=2sin（ωx-

π

6

）-1
∴f（x）的值域为[-3，1]．
（2）由f（x₁）=f（x₂）=0且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

得

T

2

＝

π

2

，∴T=π，则ω=2
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
由2kπ?

π

2

≤2x?

π

6

≤2kπ+

π

2

 k∈Z．
得kπ?

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为[kπ?

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．