Question

如图，在平行四边形ABCD中AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB'C.

1.如图，在平行四边形ABCD中AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB'C. （1）求证：以A，C，D，B'为顶点的四边形是矩形； （2）若四边形ABCD的面积为12平方厘米，求翻转后重叠部分的面积，即△ACE的面积 图
2.如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=10cm，AD=30cm，BC=36cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C同时出发，以2cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随着停止运动. （1）经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？ （2）经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？ （3）问：四边形PQCD能成菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 图见http://hi.baidu.com/609689868/album

Answer 1

1，解（1）连结B'D
因为四边形ABCD是平行四边形，所以：AB=CD，AB//CD，所以AB’//CD
因为△AB'C是将△ABC沿对角线AC翻转180°而得
所以：AB'=AB，∠CAB=∠CAB’所以AB’=CD
所以四边形ACDB'是平行四边形
因为∠CAB+∠CAB’=180°，所以∠CAB’=90°
所以四边形ACDB'是矩形
（2）作EP⊥AC
所以∠EPC=∠CAB’拆悄=90°，因为∠ECP=∠ACB’
所以△CEO∽△CB’A
所以CE：B’C=EP：AB'
因为四边形ACDB'是矩形，所以CE=1/2B'C
所以CE：B’C=1/2，所以EP=1/2AB'
因为改山四边形ABCD的面积为12平方厘米，AC是对角线
所以S△ABC=1/2S平行四边形ABCD=6
因为△AB'C是将△ABC沿对角线AC翻转180°而得
所以S△AB'C=S△旅歼渣ABC=6
因为 ∠CAB’=90°，所以：S△AB'C=1/2AC*AB'=6
因为∠EPC=90°，所以S△ACE=1/2*AC*EP=1/2*AC*1/2AB'=3
2，解：设运动了t秒
则：AP=t，CQ=2t，PD=AD-AP=30-t
（1）因为四边形ABCD是直角梯形，所以AD//BC
所以当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形
即：30-t=2t，所以t=10
（2）先作四边形PQCD成为等腰梯形的图：
分别过点P，D作PM⊥BC，DE垂直BC
所以PD=ME（矩形）
用勾股定理得：MQ=CE=6
所以ME=CQ-MQ-CE=2t-12
所以2t-12=30-t，解得：t=12
（3）若四边形PQCD能成菱形，
则：CD=CQ=PD，即：30-t=2t=CD，即CD=20
过点作DE⊥BC
则DE=AB=10，CE=BC-AD=6
由勾股定理得：CD=8
与上述相矛盾，所以 四边形PQCD不能成菱形

Answer 2

第一题：（1）∵△AB'C由△ABC沿AC翻转（这里不能叫做翻转180，只能说是做轴对称图形或者直接说翻转）得到，∴AB'=AB。在平行四边形ABCD中，AB平行且等于CD,∴AB'平行且等敬歼于CD，连接B'D，∴四边形AB'DC是平行四边形。且AB⊥AC，即∠B'AC=90°，∴四边形AB'DC是矩形
（2）∵AC⊥AB，∴AC是平行四边形ABCD与矩形AB'DC的公共高，且AB=AB'，∴S平行四边形ABCD=S矩形AB'DC，且在举行AB'DC中，E为B'C中点，∴S△AEC=1/2S△AB'C=1/4S矩形AB'DC=1/4S平行四边形ABCD=1/4X12=3

楼上关于第一题的第二个回答是轿铅错的。希望改正

第二题：关键是这个运动的速度。设时间为X（s），则PD=30-X，CQ=2X，，闭稿好AP=X，BQ=36-2X
（1） 若四边形PDCQ是平行四边形，则设PD=CQ，那么30-X=2X（0≤X≤18），解得X=10时四边形是平行四边形。
（2）若四边形PDCQ是等腰梯形，则PQ⊥BC，此时四边形ABQP是矩形，∴AP=BQ，即36-2X=X，则当X＝12时，四边形是等腰梯形。
（3）若四边形PDCQ是菱形，则有PD=CD。过D作DE⊥BC，则四边形ABED是矩形，∴CE=BC-AD=6cm，且DE=AB=10cm，∴根据勾股定理