Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xa

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xax（a＞0，a≠1，x＞0），7f(1)3-f(2)2=23，若数列{nf(n)}（n∈N）的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=（　　）A．12B．1C．-2D．-32

Answer 1

f（x）=xa^x（a＞0，a≠1，x＞0），

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，所以7a-3a²=2，解得a=2或a=

1

3

，
因为函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，
所以(

f(x)

x

)′＞0即）a^x是增函数，所以a=2，数列{

n

f(n)

}就是{

1

2n

}，
所以S_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

，因为公比为：

1

2

lim

n→∞

Sn=

1 2

1? 1 2

=1．
故选B．