设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
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解设x1,x2属于(0,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=e^x1+e^(-x1)-e^x2-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+e^(-x1)-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+1/e^(x1)-1/e^(x2)
=e^x1-e^x2+e^(x2)/e^(x2)e^(x1)-e^(x1)/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2+[e^(x2)-e^(x1)]/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2-[e^(x1)-e^(x2)]/e^(x1)e^(x2)
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]
由x1<x2
知e^x1<e^x2
即e^x1-e^x2<0
又由0<x1<x2
即e^(x1)>1,e^(x2)>1
则e^(x1)e^(x2)>1
即1-1/e^(x1)e^(x2)>0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
则f(x1)-f(x2)
=e^x1+e^(-x1)-e^x2-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+e^(-x1)-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+1/e^(x1)-1/e^(x2)
=e^x1-e^x2+e^(x2)/e^(x2)e^(x1)-e^(x1)/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2+[e^(x2)-e^(x1)]/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2-[e^(x1)-e^(x2)]/e^(x1)e^(x2)
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]
由x1<x2
知e^x1<e^x2
即e^x1-e^x2<0
又由0<x1<x2
即e^(x1)>1,e^(x2)>1
则e^(x1)e^(x2)>1
即1-1/e^(x1)e^(x2)>0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
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假设b>a>0
f(b)-f(a)=e^b+e^(-b)-e^a+e^(-a)
由于b>a>0
所以e^b-e^a>0;e^(-a)-e^(-b)>0
所以f(b)-f(a)>0
所以单调递增
f(b)-f(a)=e^b+e^(-b)-e^a+e^(-a)
由于b>a>0
所以e^b-e^a>0;e^(-a)-e^(-b)>0
所以f(b)-f(a)>0
所以单调递增
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f'(x)=e^x-e^-x。令f'(x)>0,即e^x-e^-x>0,解得x>0,所以f(x)在(0, ∞)上是单调增函数
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