Question

附加题（1）已知关于x的方程|x2-1|=a|x-1|只有一个实数解，则实数a的取值范围为______（2）设[x]是不超过

附加题（1）已知关于x的方程|x2-1|=a|x-1|只有一个实数解，则实数a的取值范围为______（2）设[x]是不超过x的最大整数，则[log31]+[log32]+[log33]+…[log3100]=______．

Answer 1

（1）|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，
若x=1，则a=2，此时方程有两解，
∴只能方程|x+1|=a无解
∴a＜0．
（2）由题意可知：设[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b为整数
a=3^b+x，0≤x＜1，
因为y=3^x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为3⁰=1，3¹=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log₃1]+[log₃2]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1×6
b=2时，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2×18．
b=3时，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3×54．
b=4时，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃100]=4×20．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃100]=1×6+2×18+3×54+4×20=284；