Question

已知a1，a2，a3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么Ax=0的基础解系还可以是（　　）A．a1+2a2-a3，3a1+

已知a1，a2，a3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么Ax=0的基础解系还可以是（　　）A．a1+2a2-a3，3a1+5a2+4a3B．a1+2a2，3a3+7a1，5a1-4a3C．a1+2a2-a3，3a2+2a3，4a3-2a1-a2D．a1+2a3，3a2+5a3+a1，5a3+2a1+a2

Answer 1

显然，Ax=0的基础解系含有三个解向量，另外各个选项的向量组都是AX=0的解向量，下面判定它们的个数以及线性相关性即可．
①选项A．由于（a₁+2a₂-a₃，3a₁+5a₂+4a₃）只有两个向量，这与Ax=0的基础解系含有三个解向量不符合，故A错误；
②选项B．由于（a₁+2a₂，3a₃+7a₁，5a₁-4a₃）=（a₁，a₂，a₃）

1 7 5 2 0 0 0 3 ?4

，而

.

1 7 5 2 0 0 0 3 ?4

.

＝86≠0
因此r（a₁+2a₂，3a₃+7a₁，5a₁-4a₃）=r（a₁，a₂，a₃）=3，即向量组（a₁+2a₂，3a₃+7a₁，5a₁-4a₃）线性无关，故B正确；
③选项C．由于（a₁+2a₂-a₃，3a₂+2a₃，4a₃-2a₁-a₂）=（a₁，a₂，a₃）

1 0 ?2 2 3 ?1 ?1 2 4

，而

.

1 0 ?2 2 3 ?1 ?1 2 4

.

＝0
因此r（a₁+2a₂-a₃，3a₂+2a₃，4a₃-2a₁-a₂）＜r（a₁，a₂，a₃），即向量组（a₁+2a₂-a₃，3a₂+2a₃，4a₃-2a₁-a₂）线性相关，故C错误；
④选项D．由于（a₁+2a₃，3a₂+5a₃+a₁，a₃+2a₁+a₂）=（a₁，a₂，a₃）

1 1 2 0 3 1 2 5 5

，而

.

1 1 2 0 3 1 2 5 5

.

＝0，
因此r（a₁+2a₃，3a₂+5a₃+a₁，a₃+2a₁+a₂）＜r（a₁，a₂，a₃），即向量组（a₁+2a₃，3a₂+5a₃+a₁，a₃+2a₁+a₂）线性相关，故D错误．
故选：B．