Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AC上，点E在BC延长线上，CD=CE，BD的延长线交AE于点F，连CF，下

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AC上，点E在BC延长线上，CD=CE，BD的延长线交AE于点F，连CF，下列结论：①AE=BD；②FD2+FE2=2CD2；③∠ACF=∠CBF；④FE+FD=2FC，其中一定成立的结论是（　　）A．①②B．①②④C．①③④D．②③④

Answer 1

①在△ACE和△BCD中，

AC＝BC   ∠ACE＝∠ACB   CE＝CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．
故①正确；
②连接ED，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠EBF．∠AEB=∠BDC．
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠AFD=∠ACB=90°．
∴ED²=DF²+EF²，CE²+CD²=ED²，
∴FD²+FE²=CE²+CD²；
∵CD=CE，
∴FD²+FE²=2CD²；故②正确．
③∵∠AFD=∠ACB=90°．
∴A、F、C、B四点共圆，
∴∠ACF=∠ABF．
∴只有当F是AE的中点时，∠ACF=∠CBF成立，其余情况都不成立，故③错误；
④延长FE至G，使EG=FD，连接CG，
∵∠FDC+∠BDC=180°，∠FEC+∠GEC=180°，且∠AEB=∠BDC，
∴∠FDC=∠GEC．
在△CDF和CEG中，

FD＝GE ∠FDC＝∠GEC DC＝EC

，
∴△CDF≌CEG（SAS），
∴CF=CG，∠DCF=∠ECG，
∵∠DCF+∠FCE=90°，
∴∠GCE+∠FCE=90°，
即∠GCF=90°．
∴GF²=CF²+CG²，
∴GF²=2CF²，
∴GF=

2

CF，
∴GE+EF=

2

CF，
∴EF+FD=

2

CF故④成立．
∴成立的结论有①②④．
故选B．