三道初中几何题（跟正方形有关的）
BC、CD分别上有点E、F（不与B、C、D重合）使∠EAF=45°
已知Rt△ECF=1/4
问△AEF的面积为多少
2。有正方形ABCD
E为BC的中点，F为EC中点
求证2∠BAE=∠FAD
3。有正方形ABCD
（由B向C方向）延长BC至点D
做∠DCP的角平分线CE
BC上有动点P
CE上有动点Q
且∠APQ为直角
求证AP=PQ
图的话，有时间画出来我再补上。
其实图都比较简单。
只是用初中的方法不知道怎么做。 展开
1.解：延长CB到G，使BG=DF，连接AG。
易证：△AGB≌△AFD
∴∠GAB=∠FAD
∵∠FAD+∠BAF=90°
∴∠GAB+∠BAF=90°
即∠GAF=90°
又∵∠EAF=45°
∴∠GAE=45°
∵AE=AE,AG=AF
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴GE=FE，S△AGE=S△AFE
设DF=a，BE=b
则CF=1-a，CE=1-b，GE=a+b
∵S△ECF=1/4
∴1/2（1-a)(1-b)=1/4
整理得：ab=a+b-1/2①
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
（1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2
整理得：ab=1-a-b②
联立①②式，可得：a+b-1/2=1-a-b
整理得：a+b=3/4
∴S△AEF
=S△AEG
=1/2·GB·AB
=1/2·（a+b)·1
=1/2×3/4×1
=3/8
2.证明：取CD中点M，连接FM并延长交AD的延长线于N，连接AM.
∵AB/MC=BE/CF，∠B=∠D=90°
∴△ABE∽△MCF
易证：△ADM≌△ABE
∴可得△MCF∽△ABE∽△ADM
∴∠BAE=∠CMF=∠DAM
∴∠CMF+∠AMD=90°
∴AM⊥FN
易证：△MCF≌△MDN
∴FM=NM
∴AM平分∠FAN（三线合一）
∴∠BAE=∠DAM=1/2∠FAD
∴2∠BAE=∠FAD
3.题目叙述有点问题，既然是正方形ABCD了，怎么还能把BC延长到D呢？
我当作把BC延长到F吧！你可以对照我画的图，这样就明白了。
PS：画图有两个字母忘标了，线段BC所在直线即为BF，线段CQ所在直线为CE。
证明：在AB上截取AT=CP，连接PT
∵CE平分∠DCF
∴∠ECF=45°
∴∠PCE=135°
∵AT=CP
∴BT=BP
∴∠BTP=45°
∴∠ATP=135°
∵∠APQ=90°
∴∠APB+∠CPQ=90°
∵∠BAP+∠APB=90°
∴∠BAP=∠CPQ
∵AF=CP
∴△APT≌△QPC（SAS）
∴AP=PQ
