Question

已知函数f（x）=x 3 -2x 2 -4x-7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是 ( 2 3 ，2) ；

已知函数f（x）=x 3 -2x 2 -4x-7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是 ( 2 3 ，2) ；②f（x）的极小值是-15；③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）④函数f（x）满足 f( 2 3 -x)+f( 2 3 +x)=0 其中假命题的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

Answer 1

∵f（x）=x 3 -2x 2 -4x-7， ∴f′（x）=3x 2 -4x-4， 令f′（x）=3x 2 -4x-4=0，得x 1 =- 2 3 ，x 2 =2． 列表讨论 x （-∞，- 2 3 ） - 2 3 （- 2 3 ，2） 2 （2，+∞） f′（x） - 0 - 0 + f（x） ↓ ↓ 极小值 ↑ ∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞）， 当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15， 故①错误，②正确； ∵a＞2，x＞2且x≠a， ∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a） =x 3 -2x 2 -4x-a 3 +2a 2 +4a-（3a 2 -4a-4）（x-a） =x 3 +2a 3 -2x 2 -2a 2 -3a 2 x+4ax＞0， ∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）， 故③正确； ∵f（x）=x 3 -2x 2 -4x-7， ∴函数f（x）不满足 f( 2 3 -x)+f( 2 3 +x)=0 ， 故④不正确， 故选C．