Question

已知二次函数f(x)满足:(1)f(-1)=0,(2)对一切x的值有x≤f(x)≤(1+x^2)/2成立

（1）试求f(x)的表达式。（2）当x∈【-1,1】时，函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调的，求m的取值范围。

Answer 1

(1)在 x≤f(x)≤(1+x^2)/2 中 ，令x=1，得1≤f(1)≤1，所以f(1)=1
设 f(x)=ax²+bx+c ，则
f(-1)=a-b+c=0
f(1)=a+b+c=1
解得，b=1/2，a+c=1/2
又对一切x的值有x≤f(x)，
即 ax²-(1/2)•x+c ≥0 恒成立
所以 a>0且⊿=1/4 - 4ac≤0
即 ac≥1/16 (当然也有c>0)
另一方面，ac≤[(a+c)/2]²=1/16
从而 当a=c=1/4时，有ac=1/16
所以 f(x)=(1/4)•x²+(1/2)•x+1/4
(2)g(x)=f(x)-mx=(1/4)•x²+(1/2 -m)•x+1/4
对称轴为x=2m-1
由于g(x)在[-1，1]是的单调的，所以区间在对称轴的一侧，
即 2m-1≤-1或 2m-1≥1
解得 m≤0或 m≥1

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c,由f(-1)=0得，a-b+c=0
由x≤f(x)≤(1+x^2)/2得，x≤ax^2+bx+c≤(1+x^2)/2 解方程和不等式