Question

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA1=2，AB=BC=1

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA1=2，AB=BC=1，E为A1D的中点．（1）试在线段CD上找一点F，使EF∥平面A1BC，并说明理由；（2）求证：CD⊥平面A1ACC1，并求四棱锥D-A1ACC1的体积．

Answer 1

解：（1）取CD的中点F，连接EF，则EF是△DA₁C的中位线，∴EF∥A₁C．∵A₁C?面A₁BC，
EF在面A₁BC 外，∴EF∥平面A₁BC．
（2）∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA₁=2，AB=BC=1，∴AC=CD=

2

，
由勾股定理得 AC⊥CD．再由AA₁垂直于底面得，AA₁⊥CD．而AC和AA₁是平面A₁ACC₁内的两条相交直线，
∴CD⊥平面A₁ACC₁．
矩形A₁ACC₁的面积等于  AA₁×AC=2×

2

=2

2

，四棱锥D-A₁ACC₁的高 CD=

2

，
四棱锥D-A₁ACC₁的体积为

1

3

AA₁×AC×CD=

4

3

．