Question

若函数f（x）在定义域内存在区间【a，b】，满足f（x）在【a，b】上的值域为【a，b】，此函数为优美函数

1 判断函数f（x）=根号x 是否称为优美函数，若是，求出a，b，若不是，说明理由 2 若函数f（x）=根号下x+t为优美函数，求实数t的取值范围

Answer 1

1,f(x)=√x，则f(x)在区间[0,1]上的值域是[0,1]，所以f(x)是优美函数。其中a=0、b=1。
2,f(x)=√(x+t)是单调递增函数。
要使f(x)在定义域上存在区间[a,b]，使得f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]，则只需方√(x+t)=x有两个不等的实根。
√(x+t)=x，则x^2-x-t=0，判别式=1+4t>0，t>-1/4。
若f(x)=√(x+t)是优美函数，则实数t的取值范围是(-1/4,+无穷)。

追问

f（x）=（根号下x）+t！

追答

f(x)=√x+t=x，则x^2-(2t+1)x+t^2=0有两个不等的非负实根。
判别式=(2t+1)^2-4t^2=4t+1>0，t>-1/4。
x1+x2=(2t+1)>=0，则t>=-1/2。
最后取t>-1/4。