求微分方程y″-2y′+y=x+1的通解。
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1.y″-2y′+y=0的通解
特征方程为r²-2r+1=0
(r-1)²=0
r1=r2=1
Y=(c1+c2x)e^x
2.非齐次一个特解y*
设y*=ax+b
y*'=a
y*''=0
-2a+ax+b=x+1
a=1,-2a+b=1
b=3
所以
y*=x+3
所以
通解y=Y+y*=(c1+c2x)e^x+x+3
特征方程为r²-2r+1=0
(r-1)²=0
r1=r2=1
Y=(c1+c2x)e^x
2.非齐次一个特解y*
设y*=ax+b
y*'=a
y*''=0
-2a+ax+b=x+1
a=1,-2a+b=1
b=3
所以
y*=x+3
所以
通解y=Y+y*=(c1+c2x)e^x+x+3
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杭州彩谱科技有限公司
2020-07-03 广告
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先求y″-2y′+y=0的通解y1
由于k^2-2k+1=0
k=1为重根
所以y1=(C1+C2x)e^x
再求y″-2y′+y=x+1的特解
由于0不是特征根 所以设方程特解为
y2=Ax+B
y'2=A y''2=0带入原方程得
-2A+Ax+B=x+1
所以A=1 B=3
y2=x+3
所以微分方程的解为
y=y1+y2=(C1+C2x)e^x+x+3
由于k^2-2k+1=0
k=1为重根
所以y1=(C1+C2x)e^x
再求y″-2y′+y=x+1的特解
由于0不是特征根 所以设方程特解为
y2=Ax+B
y'2=A y''2=0带入原方程得
-2A+Ax+B=x+1
所以A=1 B=3
y2=x+3
所以微分方程的解为
y=y1+y2=(C1+C2x)e^x+x+3
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根据结构
令y=C1x+C2
则化为
0-2C1+C1x+C2=x+1
解得
C1=1
C2=3
则y=x+3
令y=C1x+C2
则化为
0-2C1+C1x+C2=x+1
解得
C1=1
C2=3
则y=x+3
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