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(2013?唐山二模)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CC1=2,∠ABC=90°,D是AC的中点.(Ⅰ)求证:AB1
(2013?唐山二模)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CC1=2,∠ABC=90°,D是AC的中点.(Ⅰ)求证:AB1∥平面BC1D;(Ⅱ)求几何体BD...
(2013?唐山二模)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CC1=2,∠ABC=90°,D是AC的中点.(Ⅰ)求证:AB1∥平面BC1D;(Ⅱ)求几何体BDA1B1C1的体积.
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解答:
解:(Ⅰ)连接B1C,交BC1于点P,连接PD.
∵BB1C1C是平行四边形,∴B1C与BC1互相平分,可得P为为B1C的中点
∵D为AC的中点,∴PD是△AB1C的中位线,得PD∥B1A,
又∵PD?平面B1CD,B1A?平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.…(6分)
(Ⅱ)∵△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2
∴△ABC的面积为S△ABC=
×2×2=2
由此可得:直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=S△ABC×CC1=2×2=4.
∵三棱锥C1-BDC与三棱锥A1-BDA的底面积相等,且高也相等
∴三棱锥C1-BDC的体积V2与三棱锥A1-BDA的体积V3相等,
可得V2=V3=
×
V1=
.
因此,几何体BDA1B1C1的体积V=V1-V2-V3=4--
-
=
.…(12分)
∵BB1C1C是平行四边形,∴B1C与BC1互相平分,可得P为为B1C的中点
∵D为AC的中点,∴PD是△AB1C的中位线,得PD∥B1A,
又∵PD?平面B1CD,B1A?平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.…(6分)
(Ⅱ)∵△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2
∴△ABC的面积为S△ABC=
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由此可得:直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=S△ABC×CC1=2×2=4.
∵三棱锥C1-BDC与三棱锥A1-BDA的底面积相等,且高也相等
∴三棱锥C1-BDC的体积V2与三棱锥A1-BDA的体积V3相等,
可得V2=V3=
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因此,几何体BDA1B1C1的体积V=V1-V2-V3=4--
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