Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 ， 。 （1）求椭圆的标准

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 ， 。 （1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线L，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）设椭圆方程为 则 又∵ ，即 ∴ 故椭圆方程为 ； （2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为 的垂心， 设 ∵ 故 于是设直线l为 ，由 得 ∵ 又 得 即 由韦达定理得 解得 或 （舍） 经检验 符合条件。