Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，且a1=2，a2=1．（1）求k的值；（2）求Sn；（3）是否存在正整数m

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，且a1=2，a2=1．（1）求k的值；（2）求Sn；（3）是否存在正整数m，n，使Sn?mSn+1?m＜12成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2，
又a₁=2，a₂=1，
∴2+1=2k+2，解得k＝

1

2

．
（2）由 （1）知 Sn+1＝

1

2

Sn+2①，当n≥2时，Sn＝

1

2

Sn?1+2②，
①-②，得an+1＝

1

2

an(n≥2)，
又a2＝

1

2

a1，易见an≠0  (n∈N*)，∴

an+1

an

＝

1

2

  (n∈N*)，
于是{a_n}是等比数列，公比为

1

2

，首项为2，
所以Sn＝

2[1?( 1 2 )n]

1? 1 2

=4（1-

1

2n

）；
（3）不等式

Sn?m

Sn+1?m

＜

1

2

，即

4(1? 1 2n )?m

4(1? 1 2n+1 )?m

＜

1

2

，整理可得

4?m? 6 2n

4?m? 2 2n

＜0．
可得

2

2n

＜4?m＜

6

2n

即2＜2ⁿ（4-m）＜6，
假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，
由于2ⁿ为偶数，4-m为整数，则只能是2ⁿ（4-m）=4，
∴

2n＝2 4?m＝2

或

2n＝4 4?m＝1

，
因此，存在正整数m＝2， n＝1； 或 m＝3， n＝2， 使 

Sn?m

Sn+1?m

＜

1

2

．