Question

在二项式(3x2+3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，试求（1）n的值．（2）求该二项

在二项式(3x2+3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，试求（1）n的值．（2）求该二项式展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）展开式中各项系数和为4ⁿ；二项式系数和为2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32或-31（舍去），∴n=5．
（2）设系数最大项为T_r+1，则T_r-1的系数为

C

r?1 5

3r?1
T_r+1的系数为

C

r 5

3r，T_r+2的系数为

C

r+1 5

3r+1，
由

C

r?1 5

3r?1≤

C

r 5

3r≤

C

r+1 5

3r+1，解得

7

2

≤r≤

9

2

，
又∵r∈N⁺，∴r=4
∴系数最大项为T5＝405x

26

3

．
方法二：∵(

3	x2

+3x2)5=x

10

3

+15x

14

3

+90x6+270x

22

3

+405x

26

3

+243x¹⁰
∴系数最大项为T5＝405x

26

3

．