Question

已知如图（1），AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，OE⊥AC于E，猜想OE与BD的数量关系是______．探索：①若：AB

已知如图（1），AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，OE⊥AC于E，猜想OE与BD的数量关系是______．探索：①若：AB不是⊙O的直径，其他的条件不变[如图（2）]则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给予证明，不成立，请说明理由．②若：AB，CD的位置关系不变，但其交点在⊙O外[如图（3）]，则上述结论还成立吗？请说明你的判断依据．

Answer 1

解：（1）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴BC=2OE，
∴BD=2OE．
故答案为：BD=2OE．

（2）①成立．
理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OF，
∵CF=2OE，
∵AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠DCF=90°，
∴∠CAH=∠DCF，
∵∠CAH=∠CDB，
∴∠DCF=∠CDB，
∴

BC

=

DF

，
∴

CF

=

BD

，
∴CF=BD，
∴BD=2OE．

②成立．
理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OF，
∵CF=2OE，
∵AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠DCF=90°，
∴∠CAH=∠DCF，
∵∠CAH=∠CDB，
∴∠DCF=∠CDB，
∴

BC

=

DF

，
∴

CF

=

BD

，
∴CF=BD，
∴BD=2OE．